〜たり〜たりする

Verb た-form + り + Verb た-form + り + する (also い-adjective た-form + り, e.g. 暑い → 暑かったり; and Noun / な-adjective + だったり, e.g. 学生だったり, for listing states)

• 子供たちは公園で走ったり、笑ったりしていました。

  こどもたちはこうえんではしったり、わらったりしていました。

  The children were doing things like running around and laughing in the park.

• 忙しくて、テレビを見たりゲームをしたりする時間がありません。

  いそがしくて、テレビをみたりゲームをしたりするじかんがありません。

  I'm busy, so I don't have time to do things like watching TV or playing games.

• 休みの日は何をしますか。買い物をしたり、友達と会ったりしますか。

  やすみのひはなにをしますか。かいものをしたり、ともだちとあったりしますか。

  What do you do on your days off? Do you do things like shopping or meeting friends?

• ドアを開けたり閉めたりしないでください。

  ドアをあけたりしめたりしないでください。

  Please don't keep opening and closing the door.

• 天気がいい日は、散歩したり本を読んだりする。

  てんきがいいひは、さんぽしたりほんをよんだりする。

  On nice-weather days, I do things like taking walks and reading books.

• 最近は暑かったり寒かったりします。

  さいきんはあつかったりさむかったりします。

  Lately it's sometimes hot, sometimes cold.

• クラスの学生は中国人だったり、ベトナム人だったりします。

  クラスのがくせいはちゅうごくじんだったり、ベトナムじんだったりします。

  Some of the students in my class are Chinese, others are Vietnamese.

• Forgetting to conjugate both verbs into the た-form before attaching り — たり must attach to each verb's た-form, not mixing a plain form and a た-form (incorrect: 買い物したり、映画を見るたりします; correct: 買い物したり、映画を見たりします).
• Forgetting the final する (or a conjugated form of it, e.g. していました、しません) at the end of the たり〜たり clause — the sentence needs a conjugated する to close the pattern grammatically (incorrect: 週末は買い物したり、映画を見たり。; correct: 週末は買い物したり、映画を見たりします。).
• Assuming たり〜たり means the actions happened in that exact order or that it's a complete, exhaustive list — たり〜たり merely gives a few representative examples among several possible activities, in no particular fixed order.

や (listing a few example nouns)

や lists a few example nouns out of several, without being exhaustive: 本や雑誌を買いました (I bought things like books and magazines). たり〜たりする does the same job but for verbs/actions, listing a few example activities: 本を読んだり、掃除をしたりしました (I did things like reading books and cleaning) — や cannot be used to connect verbs this way.

て-form (sequential actions)

The plain て-form usually implies the actions happened in a fixed sequence, one right after another: 手を洗って、食べます (I wash my hands, then eat). たり〜たりする doesn't imply any fixed order and simply samples a few actions out of several possible ones, sometimes repeated: 手を洗ったり、掃除をしたりしました (I did things like washing my hands and cleaning — no particular order implied, just examples).

N4 grammar tests correct conjugation of both verbs into the た-form before たり, and reading/listening sections use たり〜たりする to signal that the speaker is giving a few representative examples rather than a complete list of everything that happened.