〜かける／〜かけの

Verb ます-stem + かける (読みます → 読みかける, 言います → 言いかける). 〜かける is a Group II verb: 〜かけます / 〜かけた / 〜かけて / 〜かけている. Before a noun: ます-stem + かけの + noun (読みかけの本, 食べかけのパン). As a predicate: ます-stem + かけだ / かけです (この牛乳は飲みかけです).

• メールを書きかけたまま、寝てしまった。

  メールをかきかけたまま、ねてしまった。

  I fell asleep with my email only half-written.

• 食べかけのパンを捨てないでください。

  たべかけのパンをすてないでください。

  Please don't throw away the half-eaten bread.

• 冷蔵庫の牛乳は飲みかけですか。

  れいぞうこのぎゅうにゅうはのみかけですか。

  Has someone already started the milk in the fridge?

• 彼女は何か言いかけましたが、黙ってしまいました。

  かのじょはなにかいいかけましたが、だまってしまいました。

  She started to say something, but then she went quiet.

• 電池が切れかけているので、新しいのを買おう。

  でんちがきれかけているので、あたらしいのをかおう。

  The battery is almost dead, so let's buy a new one.

• 忘れかけていた昔の歌を、ラジオで聞いた。

  わすれかけていたむかしのうたを、ラジオできいた。

  I heard an old song on the radio that I had almost forgotten.

• Putting the dictionary form before かけ. ✗ 読むかけの本 → ✓ 読みかけの本. Use the ます-stem: 読みます → 読み + かけ.
• Forgetting の before a noun. ✗ 飲みかけジュース → ✓ 飲みかけのジュース. かけ works like a noun here, so it needs の to connect to the next noun.
• Thinking that 話しかける and 呼びかける always mean "start to talk / start to call". These are usually separate words: 話しかける means "speak to someone" (駅で知らない人に話しかけられた = A stranger spoke to me at the station), and 呼びかける means "call out to / appeal to".

〜はじめる (start doing)

〜はじめる only tells that the action started, and it usually continues: 日記を書きはじめた (I started writing a diary). 〜かける puts the focus on the action being unfinished, often because it stopped in the middle: 日記を書きかけて、ペンを置いた (I started writing my diary, then put down my pen). If you want to say "left half-done", use 〜かけ, not 〜はじめ.

〜きる (do completely)

〜きる and 〜かける are opposites. 〜きる means the action went all the way to the end: 雑誌を最後まで読みきった (I read the magazine to the end). 〜かけ means it stopped partway: 読みかけの雑誌 (a magazine I'm partway through).

In N3 grammar-form questions, look for a noun right after the blank: if there is one, the answer is usually 〜かけの (飲みかけのコーヒー). Check that the verb is in the ます-stem. In reading passages, 言いかけて or 〜かけていた often shows that someone stopped in the middle, which can be the key to what happened next.