意向形（〜よう）

Group I (五段): change the last う-row sound to the お-row and add う: 行く → 行こう, 飲む → 飲もう, 買う → 買おう, 話す → 話そう, 待つ → 待とう, 遊ぶ → 遊ぼう, 泳ぐ → 泳ごう, 帰る → 帰ろう. Group II (一段): change る to よう: 食べる → 食べよう, 見る → 見よう, 起きる → 起きよう. Group III: する → しよう, 来る → 来よう (こよう). Adding か makes 〜（よ）うか: 行こうか, 手伝おうか.

• もう12時だよ。昼ご飯を食べに行こうか。

  もうじゅうにじだよ。ひるごはんをたべにいこうか。

  It's already twelve. Shall we go and have lunch?

• 荷物、重そうだね。一つ持とうか。

  にもつ、おもそうだね。ひとつもとうか。

  Your bags look heavy. Shall I carry one?

• 明日は試験だから、今日は早く寝よう。

  あしたはしけんだから、きょうははやくねよう。

  I have an exam tomorrow, so I'll go to bed early tonight.

• 今度の日曜日、一緒に映画を見ようよ。

  こんどのにちようび、いっしょにえいがをみようよ。

  Let's see a movie together this Sunday.

• 雨が強いから、今日は出かけるのをやめよう。

  あめがつよいから、きょうはでかけるのをやめよう。

  The rain is heavy, so let's not go out today.

• 来年、日本へ留学しようと思っています。

  らいねん、にほんへりゅうがくしようとおもっています。

  I'm thinking of going to Japan to study next year.

• 昨日は早く寝ようと思いましたが、寝られませんでした。

  きのうははやくねようとおもいましたが、ねられませんでした。

  I meant to go to bed early yesterday, but I couldn't sleep.

• Making the form with the wrong group rule: ✕ 行くよう / ✕ 食べろう / ✕ 帰よう → 行こう / 食べよう / 帰ろう. 帰る, 入る, 走る, 切る and 知る look like Group II but are Group I, so they take 〜ろう: 帰ろう, 入ろう. Also, 来よう is read こよう, not きよう.
• Using the plain volitional form to a teacher, a boss or a person you have just met. It is a plain-style form, so it sounds too casual: ✕ 先生、そろそろ帰ろう → 先生、そろそろ帰りましょうか. Keep 〜よう for friends, family and your own thoughts.
• Using the volitional form alone for another person's plan or for a guess about the future. It shows the speaker's own will, or 'let's'. ✕ 田中さんは来年、日本へ行こう → 田中さんは来年、日本へ行くつもりです / 行くと言っていました. For a guess, use でしょう / だろう: ✕ あしたは雨が降ろう → あしたは雨が降るでしょう.

〜ましょう (let's, polite)

The meaning is the same, and the style is different. 〜ましょう is polite and is used with people you speak to in です／ます style: そろそろ始めましょう (Let's begin). The volitional form is plain and is used with friends and family: そろそろ始めよう. In the same way, 〜ましょうか becomes 〜（よ）うか: 手伝いましょうか → 手伝おうか (Shall I help?).

〜（よ）うと思う (I think I will ...)

The volitional form alone is a decision said to yourself, or 'let's' said to someone: 新しいパソコンを買おう (I'll buy a new computer. / Let's buy a new computer). To tell another person about your intention, especially in polite speech, add と思います / と思っています: 新しいパソコンを買おうと思っています (I'm thinking of buying a new computer). Ending a polite conversation with only 買おう would sound like talking to yourself.

N4 grammar questions test the form itself, usually before と思います / と思っています or か: choose 行こう, 食べよう, しよう or 来よう from look-alike wrong forms (行くよう, 食べろう, しろう). Watch the Group I verbs that end in る (帰ろう, 入ろう). In sentence-building questions, the order is verb volitional form → と → 思っています. In listening, 〜（よ）うか between friends is either a suggestion to do something together or an offer to help, so check who will do the action.